Вернуться к содержанию учебника
Доказать, что при любом натуральном \(n\) значение выражения
\( \left(\frac{9}{n^2}+\frac{n}{3}\right) : \left(\frac{3}{n^2}-\frac{1}{n}+\frac{1}{3}\right) \) является натуральным числом.
Вспомните:
\( \left(\frac{9}{n^2} ^{\color{blue}{\backslash3}} +\frac{n}{3} ^{\color{blue}{\backslash{n^2}}} \right) : \left(\frac{3}{n^2} ^{\color{blue}{\backslash3}} -\frac{1}{n} ^{\color{blue}{\backslash{3n}}} +\frac{1}{3} ^{\color{blue}{\backslash{n^2}}} \right)= \)
\(= \frac{27 + n^3}{3n^2} : \frac{9 - 3n + n^2}{3n^2}=\)
\(= \frac{(3 + n)(9 - 3n + n^2)}{3n^2} \cdot \frac{3n^2}{9 - 3n + n^2}=\)
\(= \frac{(3 + n)\cancel{(9 - 3n + n^2)}\cdot \cancel{3n^2}}{\cancel{3n^2}\cdot\cancel{(9 - 3n + n^2)}} =\)
\(=3+n\) - при любом натуральном \(n\) является натуральным числом.
Пояснения:
Основные используемые правила:
1) Порядок действий:
если в выражении есть скобки, то сначала выполняют действия в скобках, а затем за скобками;
если в выражении нет скобок, то сначала выполняют умножение и деление, а затем сложение и вычитание.
2) Для сложения и вычитания дробей приводим их к общему знаменателю, умножая числитель и знаменатель каждой дроби на необходимые множители. При этом, при приведении дробей к общему знаменателю, если возможно, раскладываем на множители знаменатели складываемых или вычитаемых дробей. Затем, чтобы получить общий знаменатель, составляем произведение из всех множителей без повторений, входящих в знаменатели складываемых или вычитаемых дробей.
3) Деление дробей выполняется умножением на обратную дробь:
\(\frac{A}{B} : \frac{C}{D} = \frac{A}{B}\cdot\frac{D}{C}= \frac{A\cdot D}{B\cdot C}.\)
4) Формула суммы кубов:
\(\displaystyle a^3 + b^3 = (a + b)\,(a^2 - a b + b^2).\)
Пояснения к шагам:
1) дроби \(\frac{9}{n^2}\) и \(\frac{n}{3}\) приведены к общему знаменателю \(3n^2\) и сложены.
2) три слагаемых \(\frac{3}{n^2}\), \(\frac{1}{n}\) и \(\frac{1}{3}\) также приведены к общему знаменателю \(3n^2\) и объединены.
3) при делении дробей знаменатели \(3n^2\) сокращаются, остаётся \(\frac{n^3+27}{n^2-3n+9}\). По формуле суммы кубов разложили \(n^3+27\) на
\((n+3)(n^2-3n+9)\) и сократили общий множитель, получив натуральное число \(n+3\).
Вернуться к содержанию учебника