Вернуться к содержанию учебника
Найдите все пары натуральных чисел \(a\) и \(b\), если известно, что сумма обратных им чисел равна \(\frac{1}{7}\).
Вспомните:
\(\frac1a + \frac1b=\frac17\)
\(\frac{a + b}{ab} = \frac{1}{7}\) \(|\times7ab\)
\(7(a + b) = ab\)
\(ab - 7a - 7b = 0\)
\((b - 7)a = 7b\)
\(a=\frac{7b}{b-7}\)
\(a=\frac{7b-49+49}{b-7}\)
\(a=\frac{7(b-7)+49}{b-7}\)
\(a=7+\frac{49}{b-7}\)
Чтобы выражение было натуральным числом, дробь \(\frac{49}{b-7}\) должна принимать натуральное значение. Значит, \(b-7\) — делитель числа \(49\).
Делители 49: \(1,7,49\).
\(b-7=1:\)
\(b=8;\) \(a=7+\frac{49}{8-7}=56\)
\(b-7=7:\)
\(b=14;\) \(a=7+\frac{49}{14-7}=14\)
\(b-7=49:\)
\(b=56;\) \(a=7+\frac{49}{56-7}=8\)
Ответ: \((56; 8); (14; 14); (8; 56).\)
Пояснения:
Использованные правила и приёмы:
1. Из уравнения \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{7}\) выражаем одну переменную через другую, получаем дробь в правой части равенства.
2. Выделяем целую часть из полученной дроби.
3. Находим значение знаменателя, при котором дробная часть выражения принимает натуральные значения.
4. Находим значение переменных при данных значениях знаменателя.
Вернуться к содержанию учебника