Вернуться к содержанию учебника
Докажите, что:
а) выражение \(\displaystyle \frac{(a+b)^2}{ab} - \frac{(a-b)^2}{ab}\) тождественно равно 4;
б) выражение \(\displaystyle \frac{(a+b)^2}{a^2+b^2} + \frac{(a-b)^2}{a^2+b^2}\) тождественно равно 2.
Вспомните:
а) \( \frac{(a+b)^2}{ab} - \frac{(a-b)^2}{ab} =\)
\(=\frac{(a+b)^2 - (a-b)^2}{ab}= \)
\(=\frac{(a^2+2ab+b^2) - (a^2-2ab+b^2)}{ab}= \)
\(=\frac{\cancel{a^2}+2ab+\cancel{b^2} - \cancel{a^2}+2ab-\cancel{b^2}}{ab}= \)
\(=\frac{4\cancel{ab}}{\cancel{ab}}=4 \)
б) \( \frac{(a+b)^2}{a^2+b^2} + \frac{(a-b)^2}{a^2+b^2} =\)
\(=\frac{(a+b)^2 + (a-b)^2}{a^2+b^2}= \)
\(=\frac{a^2+\cancel{2ab}+b^2 + a^2-\cancel{2ab}+b^2}{a^2+b^2}= \)
\( =\frac{2a^2 + 2b^2}{a^2 + b^2} = \frac{2\cancel{(a^2 + b^2)}}{\cancel{a^2 + b^2}} = 2. \)
Пояснения:
1. При сложении и вычитании дробей с одинаковыми знаменателями складываются (или вычитаются) их числители, а знаменатель остаётся тем же:
\( \frac{A}{D} + \frac{B}{D} = \frac{A + B}{D},\)
\(\frac{A}{D} - \frac{B}{D} = \frac{A - B}{D}. \)
2. После получения единой дроби в числителях применяем формулы квадрата суммы и квадрата разности:
\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\);
\((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\).
3. Затем в числителе выполняется приведение подобных: складываются или вычитаются члены в числителе, а знаменатель остаётся прежним.
4. Далее дробь сокращается на общий множитель числителя и знаменателя.
Вернуться к содержанию учебника