Вернуться к содержанию учебника
Докажите тождество
\[\frac{1}{x+n}-\frac{1}{x+n+1}=\frac{1}{(x+n)(x+n+1)}.\]
Используя это тождество, упростите выражение
\[ \frac{1}{(x+1)(x+2)}+\frac{1}{(x+2)(x+3)}+\frac{1}{(x+3)(x+4)}. \]
Вспомните:
1) Доказательство:
\( \frac{1}{x+n} ^{\color{blue}{\backslash{x+n+1}}} -\frac{1}{x+n+1} ^{\color{blue}{\backslash{x+n}}} =\)
\(=\frac{(x+n+1)-(x+n)}{(x+n)(x+n+1)} =\)
\(=\frac{\cancel{x}+\cancel{n}+1-\cancel{x}-\cancel{n}}{(x+n)(x+n+1)} =\)
\(=\frac{1}{(x+n)(x+n+1)}. \)
2) \( \frac{1}{(x+1)(x+2)}+\frac{1}{(x+2)(x+3)}+\frac{1}{(x+3)(x+4)}= \)
\( =\bigl(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}\bigr) +\bigl(\frac{1}{x+2}-\frac{1}{x+3}\bigr) +\bigl(\frac{1}{x+3}-\frac{1}{x+4}\bigr)= \)
\( = \frac{1}{x+1} - \cancel{\frac{1}{x+2}}+ \cancel{\frac{1}{x+2}} - \cancel{\frac{1}{x+3}} + \cancel{\frac{1}{x+3}} - \frac{1}{x+4}= \)
\(= \frac{1}{x+1}^{\color{blue}{\backslash{x+4}}} - \frac{1}{x+4}^{\color{blue}{\backslash{x+1}}}= \)
\(= \frac{(x+4)-(x+1)}{(x+1)(x+4)}=\)
\(= \frac{\cancel{x}+4-\cancel{x}-1}{(x+1)(x+4)}=\)
\(=\frac{3}{(x+1)(x+4)}.\)
Пояснения:
Приемы использованные при доказательстве:
1) Для сложения и вычитания дробей приводим их к общему знаменателю, умножая числитель и знаменатель каждой дроби на необходимые множители.
2) После приведения к общему знаменателю выполняем вычитание или сложение числителей, раскрывая скобки и приводя подобные члены. При раскрытии скобок помним следующее правило:
\(a-b = -(b-a)\).
Приемы использованные при упрощении:
1) Каждую из трёх дробей исходного выражения представили как разность двух дробей, что позволило при сложении сократить все «внутренние» члены.
2) Остались лишь первое и последнее слагаемые:
\(\frac{1}{x+1}\) и \(-\frac{1}{x+4}\).
3) Выполнив вычитание оставшихся членов получили упрощенное выражение:
\(\frac{3}{(x+1)(x+4)}.\)
Вернуться к содержанию учебника