Вернуться к содержанию учебника
Докажите, что если правильная обыкновенная дробь \(\displaystyle \frac{a}{b}\) несократима, то дробь, дополняющая её до единицы, также несократима.
Введите текст
1) Пусть \(\gcd(a,b)=1\).
2) Дополним дробь до единицы: \[\frac{a}{b} + \frac{b-a}{b} = 1,\] значит рассматриваемая дробь — \(\displaystyle \frac{b-a}{b}\).
3) По свойству НОД для целых чисел: \[\gcd(b-a,b)=\gcd(a,b)=1.\]
4) Следовательно, \(\displaystyle \frac{b-a}{b}\) несократима.
Пояснения:
Определение несократимой дроби:
Дробь \(\displaystyle \frac{p}{q}\) называется несократимой, если \(\gcd(p,q)=1\).
Ключевое свойство НОД:
\[\gcd(x,y)=\gcd(y-x,y)\quad\text{для любых целых }x,y.\]Применив его к \(x=a\), \(y=b\), получаем \[\gcd(b-a,b)=\gcd(a,b).\] Так как по условию \(\gcd(a,b)=1\), то и \(\gcd(b-a,b)=1\), что и доказывает несократимость дроби \(\displaystyle \frac{b-a}{b}\).
Вернуться к содержанию учебника