Вернуться к содержанию учебника
Упростите выражение:
а) \[\frac{5}{y-3} \;+\;\frac{1}{y+3}\;-\;\frac{4y-18}{y^2-9};\]
б) \[\frac{2a}{2a+3}\;+\;\frac{5}{3-2a}\;-\;\frac{4a^2+9}{4a^2-9};\]
в) \[\frac{4m}{4m^2-1}\;-\;\frac{2m+1}{6m-3}\;+\;\frac{2m-1}{4m+2};\]
г) \[\frac{1}{(x+y)^2}\;-\;\frac{2}{x^2-y^2}\;+\;\frac{1}{(x-y)^2};\]
д) \[\frac{4a^2+3a+2}{a^3-1}\;-\;\frac{1-2a}{a^2+a+1};\]
е) \[\frac{x-y}{x^2+xy+y^2}\;-\;\frac{3xy}{x^3-y^3}\;+\;\frac{1}{x-y}.\]
Введите текст
а) общий знаменатель \((y-3)(y+3)=y^2-9\): \[ \frac{5(y+3)+(y-3)-(4y-18)}{y^2-9} =\frac{5y+15+y-3-4y+18}{y^2-9} =\frac{2y+30}{y^2-9} =\frac{2(y+15)}{y^2-9}. \]
б) заметим \(3-2a=-(2a-3)\) и \(4a^2-9=(2a-3)(2a+3)\), общий знаменатель \((2a-3)(2a+3)\): \[ \frac{2a(2a-3)-5(2a+3)-(4a^2+9)}{(2a-3)(2a+3)} =\frac{4a^2-6a-10a-15-4a^2-9}{(2a-3)(2a+3)} =\frac{-16a-24}{(2a-3)(2a+3)} =\frac{-8(2a+3)}{(2a-3)(2a+3)} =-\frac{8}{2a-3}. \]
в) \(4m^2-1=(2m-1)(2m+1)\), \(6m-3=3(2m-1)\), \(4m+2=2(2m+1)\), общий знаменатель \(6(2m-1)(2m+1)\): \[ \frac{24m -2(2m+1)^2 +3(2m-1)^2}{6(2m-1)(2m+1)} =\frac{4m^2+4m+1}{6(2m-1)(2m+1)} =\frac{(2m+1)^2}{6(2m-1)(2m+1)} =\frac{2m+1}{6(2m-1)}. \]
г) общий знаменатель \((x+y)^2(x-y)^2\): \[ \frac{(x-y)^2 -2(x+y)(x-y) + (x+y)^2}{(x^2-y^2)^2} =\frac{[(x-y)-(x+y)]^2}{(x^2-y^2)^2} =\frac{(-2y)^2}{(x^2-y^2)^2} =\frac{4y^2}{(x^2-y^2)^2}. \]
д) \(a^3-1=(a-1)(a^2+a+1)\), общий знаменатель \((a-1)(a^2+a+1)\): \[ \frac{4a^2+3a+2 - (1-2a)(a-1)}{(a-1)(a^2+a+1)} =\frac{4a^2+3a+2 +2a^2-3a+1}{(a-1)(a^2+a+1)} =\frac{6a^2+3}{(a-1)(a^2+a+1)} =\frac{3(2a^2+1)}{(a-1)(a^2+a+1)}. \]
е) \(x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)\), общий знаменатель \((x-y)(x^2+xy+y^2)\): \[ \frac{(x-y)^2 -3xy + (x^2+xy+y^2)}{(x-y)(x^2+xy+y^2)} =\frac{2(x-y)^2}{(x-y)(x^2+xy+y^2)} =\frac{2(x-y)}{x^2+xy+y^2}. \]
Пояснения:
Использованные правила и приёмы:
– Приведение дробей к общему знаменателю путём умножения на «единицу» в виде дроби.
– Раскрытие скобок и упрощение числителя: сложение/вычитание одноимённых членов.
– Факторизация квадратических и кубических многочленов: \(y^2-9=(y-3)(y+3)\), \(4a^2-9=(2a-3)(2a+3)\), \(a^3-1=(a-1)(a^2+a+1)\), \(x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)\).
– Применение формулы разности квадратов и разности кубов при сокращении.
– Сокращение общих множителей в числителе и знаменателе.
Вернуться к содержанию учебника