Упражнение 249 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 61

Обозначим левую часть через \(L\):

\[ L = \frac{1}{p-2q} + \frac{6q}{4q^2 - p^2} - \frac{2}{p+2q}. \]

1) Заметим, что \(4q^2 - p^2 = -(p^2 - 4q^2)\), поэтому

\[ \frac{6q}{4q^2 - p^2} = -\frac{6q}{p^2 - 4q^2}. \]

2) Приведём первые и третьи дроби к общему знаменателю \(p^2 - 4q^2\):

\[ \frac{1}{p-2q} - \frac{2}{p+2q} = \frac{p+2q}{p^2 - 4q^2} - \frac{2(p-2q)}{p^2 - 4q^2} = \frac{p + 2q - 2p + 4q}{p^2 - 4q^2} = \frac{-p + 6q}{p^2 - 4q^2}. \]

3) Тогда

\[ L = \frac{-p + 6q}{p^2 - 4q^2} \;-\;\frac{6q}{p^2 - 4q^2} = \frac{-p +6q -6q}{p^2 - 4q^2} = -\frac{p}{p^2 - 4q^2}. \]

4) Рассмотрим правую часть \(R\):

\[ R = -\frac{1}{2p}\;\Bigl(\frac{p^2 + 4q^2}{p^2 - 4q^2} + 1\Bigr) = -\frac{1}{2p}\;\frac{p^2 + 4q^2 + (p^2 - 4q^2)}{p^2 - 4q^2} = -\frac{1}{2p}\;\frac{2p^2}{p^2 - 4q^2} = -\frac{p}{p^2 - 4q^2}. \]

Таким образом \(L = R\), что и требовалось доказать.

Пояснения:

— Использовано замена знака в дроби при \(4q^2 - p^2 = -(p^2 - 4q^2)\).

— Приведение дробей к общему знаменателю для упрощения суммы и разности.

— Сложение дробей: \(\tfrac{A}{D} + \tfrac{B}{D} = \tfrac{A+B}{D}\) и вычитание аналогичным образом.

— Свойство деления на дробь: \(A\div\frac BC = A\cdot\frac CB\).

— Приведение правой части к единой дроби и сокращение множителей.

Каждый шаг показал, что обе части равны \(-\frac{p}{p^2 - 4q^2}\), поэтому исходное тождество верно.