Упражнение 251 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 61

1) Преобразуем первую дробь. Составим общий знаменатель в числителе и в знаменателе:

\[ \frac{3}{2}a^2 - 2ab + \frac{2}{3}b^2 = \frac{9a^2 - 12ab + 4b^2}{6}, \quad \frac{1}{4}a^2 - \frac{1}{9}b^2 = \frac{9a^2 - 4b^2}{36}. \]

Деление дробей даёт

\[ \frac{\displaystyle\frac{9a^2 - 12ab + 4b^2}{6}} {\displaystyle\frac{9a^2 - 4b^2}{36}} = \frac{9a^2 - 12ab + 4b^2}{6} \;\cdot\; \frac{36}{9a^2 - 4b^2} = 6\;\frac{9a^2 - 12ab + 4b^2}{9a^2 - 4b^2}. \]

Заметим, что \(9a^2 - 12ab + 4b^2 = (3a - 2b)^2\) и \(9a^2 - 4b^2 = (3a - 2b)(3a + 2b)\). Тогда

\[ 6\;\frac{(3a - 2b)^2}{(3a - 2b)(3a + 2b)} = 6\;\frac{3a - 2b}{3a + 2b}. \]

2) Преобразуем вторую дробь:

\[ \frac{6b}{\frac{3}{4}a + \frac{1}{2}b} = 6b \;\biggl/\;\frac{3a+2b}{4} = 6b \cdot \frac{4}{3a+2b} = \frac{24b}{3a+2b}. \]

3) Складываем оба результата с общим знаменателем \(3a+2b\):

\[ 6\;\frac{3a - 2b}{3a + 2b} \;+\; \frac{24b}{3a + 2b} = \frac{18a - 12b + 24b}{3a + 2b} = \frac{18a + 12b}{3a + 2b} = 6. \]

Таким образом выражение тождественно равно 6.

Пояснения:

— Приведение дробей к общему знаменателю и арифметика дробей.

— Раскрытие скобок и факторизация: \(9a^2 - 12ab + 4b^2 = (3a-2b)^2\), \(9a^2 - 4b^2 = (3a-2b)(3a+2b)\).

— Деление на дробь сводится к умножению на обратную дробь.

— Сокращение одинаковых множителей в дроби.

Все преобразования приводят к постоянному значению 6, не зависящему от \(a\) и \(b\).